题目内容
【题目】如图1，抛物线y=ax2+2ax+c与x轴交于A（-3，0）、B两点，与y轴交于C点，△ABC的面积为6，抛物线顶点为M．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，直线y=kx+k-3与抛物线交于P、Q两点（P点在Q点左侧），问在y轴上是否存在点N，使四边形PMQN为矩形？若存在，求N点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图3，若D为抛物线上任意一点，E（-1，s）为对称轴上一点，若对任意一点D都有ED≥EM，求s的最大值及相应E点坐标．
【答案】解：（1）y=x
+2x-3；（2）y轴上存在点N，使四边形PMQN为矩形，证明见解析；（3）s最大值为-
，E点坐标为（-1，-）
【解析】
（1）求抛物线对称轴为直线x=-1，根据点A、B关于对称轴对称求得B点坐标，进而依据三角形面积求出点C坐标（0，-1），即求得c的值．再把点B代入解析式即求出答案．
（2）设点N纵坐标为n，根据矩形对角线的交点为MN、PQ中点，用n表示MN、PQ交点S的坐标．把直线解析式和抛物线解析式联立方程组，消去y化简后根据根与系数关系求出PQ两点的坐标即可求N点坐标．
（3）设抛物线上的点D坐标为（t，t+2t-3），根据两点间距离公式用含t、s的式子表示ED和EM，由ED≥EM列得不等式并进行化简得（t+1） [（t+1）2+（-7-2s）]≥0，由于（t+1）≥0，讨论（t+1）+（-7-2s）≥0得7+2s≤（t+1）．因为对于任意的t值，此式都成立因此7+2s≤0求得s的最大值为-．
解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=
=-1，A（-3，0）
∴B（1，0），
∴AB=4
∵S△ABC=
ABOC=6
∴OC=3
∴C（0，-3），c=-3
将B（1，0）代入y=ax+2ax-3得a+2a-3=0
解得：a=1
∴抛物线的解析式为：y=x+2x-3
（2）y轴上存在点N，使四边形PMQN为矩形．
连接PN，MN，MN交PQ于点S，设N（0，n）
∵四边形PMQN为矩形
∴MN=PQ，SP=SQ=SM=SN
∵点M（-1，-4），点N在y轴上
∴S（，
）
由
整理得x+（2-k）x-k=0
设方程两根为xP，xQ，则xP+xQ=k-2，
∵S（，）也为PQ中点
∴（xP+xQ）=，
∴xP+xQ=-1，即k-2=-1，解得：k=1
∴直线PQ的解析式为：y=x-2
解方程组
得：
，
；
∴
∴
∴n=-1
∴点N坐标为（0，-1）时，四边形PMQN为矩形．
（3）设D（t，t+2t-3）
∵E（-1，s），M（-1，-4）
∴EM=|s+4|，ED2=（t+1）+（t+2t-3-s）=（t+1）+[（t+1）-4-s] =（t+1）
+（t+1）4-2（t+1）（4+s）+（4+s）=（t+1）4+（t+1）（-7-2s）+（4+s）
∵ED≥EM
∴（t+1）4+（t+1）（-7-2s）+（4+s）≥（4+s）
∴（t+1）4+（t+1）（-7-2s）≥0
∴（t+1） [（t+1）+（-7-2s）]≥0
∵（t+1）≥0
∴（t+1）+（-7-2s）≥0
∴7+2s≤（t+1）
∵对于任意的t值，此式都成立
∴7+2s≤0
∴s最大值为-，E点坐标为（-1，-）
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