Question

【题目】（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．

①求证：；

②推断：的值为　 　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与CP之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②解：结论：．理由见解析；（2）结论：．理由见解析；（3）．

【解析】

（1）①由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DQ．②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．

（2）结论：如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．

（3）如图2-1中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．

（1）①证明：∵四边形是正方形，

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴≌，

∴．

②解：结论：．

理由：∵，，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∴．

故答案为1．

（2）解：结论：．

理由：如图2中，作于．

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴∽，

∴，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

∴．

（3）解：如图2﹣1中，作交的延长线于．

∵，，

∴，

∴，

∴可以假设，，，

∵，，

∴，

∴，

∴或﹣1（舍弃），

∴，，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴，，

∴，

∴∽，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴．