Question

9．如图，在平面直角坐标系中，AC⊥BC于点C，且点C在y的正半轴上，点A和点B分别在x的负半轴和正半轴，AC=BC，AB=8．
（1）求点C的坐标；
（2）点D从点C出发以1个单位/秒的速度向y的负半轴方向运动，同时点G从点B出发以1个单位/秒的速度向x轴的正方向运动，连接DG交直线BC于点F．设D、G两点运动时间为t秒，△DOF的面积为s，请用t的式子表示s，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点F作FP⊥DF，过点C作x轴的平行线交FP于点P，连接AD，是否存在t，使△CPF的面积等于△AOD面积的2倍？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质和AC=BC，AB=8计算即可；
（2）由运动表示出OD=4-t，OG=4+t，利用面积公式计算即可；
（3）先判断△POI为等腰直角三角形，利用面积公式表示出△CPF和△AOD的面积，用2倍建立方程，解出即可．

解答 解：（1）∵AC=BC，AB=8，
∴OB=4，
∵AC⊥BC，AC=BC，
∴∠OBC=45°．
∵∠BOC=90°，
∴OC=OB=4，
∵点C在y的正半轴上，
∴C（0，4）；
（2）过点D作DH∥x轴交直线BC于点H，可证CD=DH=BG
当0＜t＜4时，如图1，

∵OD=4-t，OG=4+t，
∴S=$\frac{1}{2}$OD×OG=$\frac{1}{2}$（4-t）（4+t）=8-$\frac{1}{2}$t²，
如图2，当t＞4时，

∵OD=t-4，OG=4+t，
∴S=$\frac{1}{2}$OD×OG=$\frac{1}{2}$（t-4）（4+t）=$\frac{1}{2}$t²-8，

（3）如图3，

连接PD、PG、PO，过点F作E⊥CP于点E，过点P作PI⊥PO交x轴于点I，
∴△POI为等腰直角三角形，且OB=BI=OC=CP，
∴点P（4，4），CP=4．
当0≤t＜4时，EF=$\frac{1}{2}$t+2，
S_△CPF=$\frac{1}{2}$CP×EF=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{2}$t+2）=t+4
S_△AOD=$\frac{1}{2}$OA×OD=$\frac{1}{2}$×4×（4-t）=8-2t
∴t+4=2（8-2t），
解得t=$\frac{12}{5}$，
当t＞4时，EF=$\frac{1}{2}$t+2，
S_△CPF=$\frac{1}{2}$CP×EF=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{2}$t+2）=t+4
S_△AOD=$\frac{1}{2}$OA×OD=$\frac{1}{2}$×4×（t-4）=2t-8
∴t+4=2（2t-8），
解得t=$\frac{20}{3}$．
∴存在t，使△CPF的面积等于△AOD面积的2倍，t=$\frac{12}{5}$或t=$\frac{20}{3}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，面积计算方法，解本题的关键是面积的计算方法．作出辅助线是解本题的难点．