Question

12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个点，PE⊥AD交直线BC于点E
①若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数．
②猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系．

Answer 1

分析 ①中，首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
②中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．

解答 解：①∵∠B=35°，∠ACB=85°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ADC=65°，
∴∠E=25°；

②∠E=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）．
设∠B=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=（180-n-m）°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$（180-n-m）°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+$\frac{1}{2}$（180-n-m）°=90°+$\frac{1}{2}$n°-$\frac{1}{2}$m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°-（90°+$\frac{1}{2}$n°-$\frac{1}{2}$m°）=$\frac{1}{2}$（m-n）°=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．