Question

3．已知：如图，BC是半⊙O的直径，点D在半⊙O，上点A是弧BD的中点．AE⊥BC，垂足为E，BD分别交AE，AC于点F，G．
（1）求证：AF=BF；
（2）点D在何处时，有AG=FG？指出点D的位置并加以证明．

Answer 1

分析 （1）连接AB，由BC是半⊙O的直径，得到∠BAC=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠C，根据圆周角定理得到∠ABD=∠C，等量代换得到∠ABD=∠BAE，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠C=∠EBF，根据余角的性质得到∠BAE=∠C，等量代换得到∠AFG=∠GAF，于是得到结论．

解答 （1）证明：连接AB，
∵BC是半⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠C，
∵点A是弧BD的中点，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ABD=∠C，
∴∠ABD=∠BAE，
∴AF=BF；
（2）解：当$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$时，有AG=FG，
∴∠C=∠EBF，
∵∠BAC=∠AEC=90°，
∴∠GAF+∠BAE=∠EAC+∠C=90°，
∴∠BAE=∠C，
∴∠EBF=∠BAE，
∵∠AFG=∠BFE，
∴∠AFG+∠FBE=∠BAF+∠FAG=90°，
∴∠AFG=∠GAF，
∴AG=FG．

点评 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．