Question

1．如图1，2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，连接BD．现将一个足够大的直角三角板的直角顶点O放在射线BD上（点P不与点B、D重合），一条直角边过点C，另一条直角边与AB所在的直线交于点G．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且PG=BC时，
       ①求证：△GBC≌△CPG；    ②求BG的长；
（2）如图2，当点P在线段BD的延长线上，且PC=BC时，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）①利用HL定理判定Rt△GBC≌Rt△CPG；
②根据平行四边形的判定定理证明四边形BGCD是平行四边形，得到答案；
（2）证明Rt△GBC≌Rt△GPC，利用正切的定义求出PG的长，根据全等三角形的性质得到答案．

解答 解：（1）①在Rt△GBC和Rt△CPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=PG}\\{GC=CG}\end{array}\right.$，
∴Rt△GBC≌Rt△CPG；
②∵Rt△GBC≌Rt△CPG，
∴∠BCG=∠PGC，
∴EG=EC，又BC=PG，
∴EB=EP，
∴∠EBP=∠EPB，
∴∠EBP=∠GCB，
∴BD∥GC，又BG∥CD，
∴四边形BGCD是平行四边形，
∴BG=CD=6；
（2）在Rt△GBC和Rt△GPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=PC}\\{GC=GC}\end{array}\right.$，
∴Rt△GBC≌Rt△GPC，
∴PC=BC=8，BG=PG，
∵△GPC是一个三角板，
∴∠PGC=30°，
∴PG=$\frac{PC}{tan30°}$=8$\sqrt{3}$，
∴BG=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，掌握直角三角形全等的判定方法、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．