Question

8．如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°．
（1）在图中画出旋转后的图形；
（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在BC上，且∠EAF=45°，连接EF．
①求证：△AMF≌△AEF；
②若正方形的边长为6，AE=3$\sqrt{5}$，则EF=5．

Answer 1

分析 （1）在CB的延长线上截取BM=DE，则△ABM满足条件；
（2））①由旋转性质得AM=AE，∠MAE=90°，则∠MAF=∠EAF=45°，则可根据“SAS”判断△AMF≌△AEF；
②由△AMF≌△AEF得到EF=MF，即ME=BF+MB，加上BM=DE，所以EF=BF+DE，再利用勾股定理计算出DE=3，则CE=3，设EF=x，则BF=x-3，CF=9-x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到（9-x）²+3²=x²，然后解方程求出x即可．

解答 （1）解：如图，△ABM为所作；

（2）①证明：∵ABCD 是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∴AM=AE，∠MAE=90°，
又∵∠EAF=45°，
∴∠MAF=45°，
∴∠MAF=∠EAF，
在△AMF和△AEF中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{∠MAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△AEF；
②解：∵△AMF≌△AEF，
∴EF=MF，
即ME=BF+MB，
而BM=DE，
∴EF=BF+DE，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{6}^{2}}$=3，
∴CE=6-3=3，
设EF=x，则BF=x-3，
∴CF=6-（x-3）=9-x，
在Rt△CEF中，∵CF²+CE²=EF²，
∴（9-x）²+3²=x²，解得x=5，
解EF=5．
故答案为5．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．