已知.点O是等边△ABC内的任一点.连接OA.OB.OC．(1)如图1.已知∠AOB=150°.∠BOC=120°.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是90°,②用等式表示线段OA.OB.OC之间的数量关系.并证明,(2)设∠AOB=α.∠BOC=β．①当α.β满足什么关系时.OA+OB+OC有最小值?请在图2中画出符合条件� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．
（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．
①∠DAO的度数是90°；
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．
①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；
②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．

分析（1）①根据周角的定义得到∠AOC=360°-120°-150°=90°，由于将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，于是得到∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，根据四边形的内角和即可得到结论；②如图1，连接OD，由于△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，得到△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，根据全等三角形的性质得到CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，推出△OCD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，由于∠AOB=150°，∠BOC=120°，得到∠AOC=90°，求得∠AOD=30°，∠ADO=60°，根据勾股定理即可得到结论；
（2）①如图2，由旋转的性质得到O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．．推出△OC O′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，由于∠AOB=∠BOC=120°，得到∠AOC=∠A′O′C=120°，推出四点B，O，O′，A′共线，即可得到结论，②根据①的结论即可得到结果．

解答解：（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=360°-120°-150°=90°，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，
∴∠DAO=360°-∠AOC-∠OCD-∠D=90°，
故答案为：90°；
②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA²+OB²=OC²，
如图1，连接OD，
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，
∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，
∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，
∴∠DAO=90°，
在Rt△ADO中，∠DAO=90°，
∴OA²+OB²=OD²，
∴OA²+OB²=OC²；

（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．
如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′，
∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°，
∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，
∠A′O′C=∠AOC．
∴△OC O′是等边三角形，
∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，
∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC=∠A′O′C=120°，
∴∠BOO′=∠OO′A′=180°，
∴四点B，O，O′，A′共线，
∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小；
②∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴O为△ABC的中心，
∵四点B，O，O′，A′共线，
∴BD⊥AC，
∵将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，
∴A′C=AC=BC，
∴A′B=2BD，
在Rt△BCD中，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A′B=$\sqrt{3}$，
∴当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A′B=$\sqrt{3}$．