Question

19．在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，则此正方形落在x轴正半轴的顶点坐标为（1.5，0）或（1，0）．

Answer 1

分析 分两种情况：①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，得到OA=OB=3，∠BAO=45°，根据DE⊥OA，推出DE=AE，由于四边形COED是正方形，得到OE=DE，等量代换得到OE=AE，即可得到结论；②如图2，由（1）知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，由四边形CDEF是正方形，得到EF=CF，于是得到AF=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$OF=2OF，求出OA=OF+2OF=3，即可得到结论．

解答 解：分两种情况；
①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，
∴OA=OB=3，
∴∠BAO=45°，
∵DE⊥OA，
∴DE=AE，
∵四边形COED是正方形，
∴OE=DE，
∴OE=AE，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=1.5，
∴E（1.5，0）；
②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，
∴CF=$\sqrt{2}$OF，AF=$\sqrt{2}$EF，
∵四边形CDEF是正方形，
∴EF=CF，
∴AF=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$OF=2OF，
∴OA=OF+2OF=3，
∴OF=1，
∴F（1，0）．
故答案为（1.5，0）或（1，0）．

点评 本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想以及正确画出图形是解题的关键．