Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=

3-b

+

b-3

-1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S_{四边形ABDC}．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S_△PAB=S_{四边形ABDC}？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）

∠DCP+∠BOP

∠CPO

的值是否发生变化，并说明理由．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,非负数的性质：算术平方根,三角形的面积

专题：

分析：（1）根据被开方数大于等于0列式求出b，再求出a，从而得到A、B的坐标，再根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加求出点C、D的坐标即可，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据三角形的面积公式列出方程求出OP，再分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；
（3）根据平移的性质可得AB∥CD，再过点P作PE∥AB，根据平行公理可得PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，然后求出∠CPO=∠DCP+∠BOP，从而判断出比值不变．

解答：解：（1）由题意得，3-b≥0且b-3≥0，
解得b≤3且b≥3，
∴b=3，
a=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴点C（0，2），D（4，2）；
∵AB=3-（-1）=3+1=4，
∴S_{四边形ABDC}=4×2=8；

（2）∵S_△PAB=S_{四边形ABDC}，
∴

1

2

×4•OP=8，
解得OP=4，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，-4）；

（3）

∠DCP+∠BOP

∠CPO

=1，比值不变．
理由如下：由平移的性质可得AB∥CD，
如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，
∴

∠DCP+∠BOP

∠CPO

=1，比值不变．

点评：本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，平移的性质，平行线的性质，以及非负数的性质，熟记各性质是解题的关键．