Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C（-2，0）．
（1）求S_△ABC；
（2）过点O作OD⊥BC交AB于D，求D点坐标；
（3）若直线y=kx-k与线段BD有交点，求k的取值范围．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）求出线段AC和OB的长度，运用三角形面积公式求解．
（2）求出直线OD的解析式为y=-

1

2

x，和y=x+4组成一个方程组解出点D的坐标．
（3）用y=kx-k与y=x+4解出用k表示的x的关系式，根据x的取值范围用不等式求k的取值范围．

解答：解：（1）直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C（-2，0），
∴A（-4，0），B（0，4），
∴S_△ABC=AC×OB÷2=（4-2）×4÷2=4．

（2）∵B（0，4），C（-2，0），
∴直线BC的斜率=

OB

OC

=2，OD⊥BC，
∴直线OD的斜率=-

1

2

，
∴直线OD的解析式为y=-

1

2

x

y=x+4 y=- 1 2 x

解得

x=- 8 3 y= 4 3

所以点D的坐标为：（-

8

3

，

4

3

）

（3）由直线ABy=x+4，直线ODy=-

1

2

x相交D，
∴D（-

8

3

，

4

3

），
∵B（0，4），
∴线段BD的方程为；

y- 4 3

4- 4 3

=

x+ 8 3

0+ 8 3

，（-

8

3

≤x≤0）
即y=x+4，
把y=kx-k代入得x=

k+4

k-1

，
直线y=kx-k与线段BD有交点，
则-

8

3

≤

k+4

k-1

≤0，
解-

8

3

≤

k+4

k-1

得
k≥-

4

11

由

k+4

k-1

≤0得
-4≤k＜1
不等式的解集为：-

4

11

≤k＜1

点评：本题主要考查一次函数及运用不等式求解集．