Question

11．如图，在?ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若AB=13，AD=20，DE=12，求?BEDF的面积．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，证出∠BAC=∠DCA，由垂线的性质得出BF∥DE，∠AFB=∠CED=90°，由AAS证明△ABF≌△CDE，得出BF=DE，AF=EC，即可得出四边形BEDF是平行四边形．
（2）由勾股定理求出EC，得出AF，由勾股定理求出AE，得出EF，即可得出?BEDF的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴BF∥DE，∠AFB=∠CED=90°，
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DCA}&{\;}\\{∠AFB=∠CED}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，AF=EC，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）∵AB=13，
∴CD=13，
∴EC=$\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∴AF=5，
∵AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}$=16，
∴EF=AE-AF=11，
∴?BEDF的面积=2×$\frac{1}{2}$×11×12=132．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．