Question

19．如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，抛物线y=ax²+bx+c经过O、A、E三点．
（1）求AD的长．
（2）求此抛物线的解析式．
（3）若点P是此抛物线的对称轴上一动点，点Q是抛物线上的点，以点P、Q、O、D为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出P、Q的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质，得到A（10，0），C（0，8），再由折叠可知：AD=ED，OA=OE=10，最后用勾股定理计算即可；                 
（2）由抛物线y=ax²+bx+c与x轴两交点是O（0，0）、A（10，0）用交点式设解析式，用待定系数法即可；
（3）以点P、Q、O、D为顶点的四边形能成为平行四边形，分两种情况讨论：①若OD是平行四边形的对角线，判断出点P一定是抛物线的顶点
②OD是平行四边形的一条边．利用平行四边形的对边平行且相等，即可．

解答 解：（1）∵点B的坐标为（10，8），
由矩形的性质，得A（10，0），C（0，8）
由折叠可知：AD=ED，OA=OE=10                  
在Rt△OCE中，CE²=OE²-OC²=10²-8²=36
∴CE=6
∴E点坐标为（6，8）
设AD的长是m，则ED=m
在Rt△BED中，ED²=BE²+BD²
∴m²=（10-6）²+（8-m）²
解得：m=5，即AD的长是5．
（2）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴两交点是O（0，0）、A（10，0）
∴可设抛物线的解析式是y=ax（x-10）
又∵抛物线y=ax²+bx+c过点E（6，8）
∴8=a×6×（6-10），
∴a=-$\frac{1}{3}$，
抛物线的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x，
（3）能成为平行四边形．
①若OD是平行四边形的对角线时：
由于抛物线的对称轴经过OD的中点，
∴当平行四边形OPDQ的顶点P在抛物线的对称轴上时，点Q也在抛物线的对称轴上，又点Q在抛物线上，故点P一定是抛物线的顶点．
∴Q （5，$\frac{25}{3}$）
又因为平行四边形的对角线互相平分，
所以，线段PQ必被OD的中点（5，$\frac{5}{2}$）平分
∴P（5，-$\frac{10}{3}$），
此时P（5，-$\frac{10}{3}$），Q （5，$\frac{25}{3}$）
②若OD是平行四边形的一条边时：
在平行四边形ODPQ中，OD∥PQ且OD=PQ
设P（5，m），则Q（5-10，m-5）
将Q（5-10，m-5）代入抛物线解析式中，
解得m=-20
∴P（5，-20），Q（-5，-25）
在平行四边形ODQP中，OD∥PQ且OD=PQ
设P（5，m），则Q（10+5，5+m）
将（10+5，5+m）代入抛物线解析式中，
解得m=-30
∴P（5，-30），Q（15，-25），
综上：符合条件的点P、Q有3对，即
P（5，-$\frac{10}{3}$），Q （5，$\frac{25}{3}$）；P（5，-20），Q（-5，-25）； P（5，-30），Q（15，-25）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，分OD为平行四边形的边和对角线两种是解本题的难点．