Question

5．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．
（1）求证：BA•BM=BC•BN；
（2）如果CM是⊙O的切线，且M为AB的中点，当BN=4时，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）连接MN，根据三角形相似的判定方法，判断出△ABC∽△NBM，即可判断出BA•BM=BC•BN；
（2）连接MO、MN，根据直角三角形的性质得到MC=MB，得到∠MCB=∠B，根据弦切角定理证明∠NMC=∠B，得到∠MNO=60°，根据等边三角形的性质得到答案．

解答 （1）证明：如图1，连接MN，
∵NB是⊙O的直径，
∴∠NMB=90°，
在△ABC和△NBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠NBM}\\{∠ACB=∠NMB}\end{array}\right.$，
∴△ABC∽△NBM，
∴$\frac{BA}{BN}=\frac{BC}{BM}$，
∴BA•BM=BC•BN；
（2）如图2，连接MO、MN，
∵∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC=MB，
∴∠MCB=∠B，
∵CM是⊙O的切线，
∴∠NMC=∠B，
∵∠MNB=∠NCM+∠NMC，
∴∠MNB=2∠B，
∵BN为⊙O的直径，
∴∠NMB=90°，
∴∠MNO=60°，
∴△MNO是等边三角形，
∴MN=2．

点评 本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的外角的性质、弦切角定理以及等边三角形的判定，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键．