Question

17．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P_k（x_k，y_k）处，其中x₁=1，y₁=1，当k≥2时，$\left\{\begin{array}{l}{x_k}={x_{k-1}}+1-5（[\frac{k-1}{5}]-[\frac{k-2}{5}]）\\{y_k}={y_{k-1}}+[\frac{k-1}{5}]-[\frac{k-2}{5}]\end{array}\right.$，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第2011棵树种植点的坐标为（1，403）．

Answer 1

分析 根据规律找出种植点的横坐标与纵坐标的通式，然后再把2010代入进行计算即可求解．

解答 解：根据题意，x₁=1，
x₂-x₁=1-5[$\frac{1}{5}$]+5[$\frac{0}{5}$]，
x₃-x₂=1-5[$\frac{2}{5}$]+5[$\frac{1}{5}$]，
x₄-x₃=1-5[$\frac{3}{5}$]+5[$\frac{2}{5}$]，
…
x_k-x_k-1=1-5[$\frac{k-1}{5}$]+5[$\frac{k-2}{5}$]，
∴x₁+（x₂-x₁）+（x₃-x₂）+（x₄-x₃）+…+（x_k-x_k-1），
=1+（1-5[$\frac{1}{5}$]+5[$\frac{0}{5}$]）+（1-5[$\frac{2}{5}$]+5[$\frac{1}{5}$]）+（1-5[$\frac{3}{5}$]+5[$\frac{2}{5}$]）+…+（1-5[$\frac{k-1}{5}$]+5[$\frac{k-2}{5}$]），
∴x_k=k-5[$\frac{k-1}{5}$]，
当k=2011时，x₂₀₁₁=2011-5[$\frac{2010}{5}$]=2011-5×402=1，
y₁=1，
y₂-y₁=[$\frac{1}{5}$]-[$\frac{0}{5}$]，
y₃-y₂=[$\frac{2}{5}$]-[$\frac{1}{5}$]，
y₄-y₃=[$\frac{3}{5}$]-[$\frac{2}{5}$]，
…
y_k-y_k-1=[$\frac{k-1}{5}$]-[$\frac{k-2}{5}$]，
∴y_k=1+[$\frac{k-1}{5}$]，
当k=2011时，y₂₀₁₁=1+[$\frac{2010}{5}$]=1+402=403，
∴第2011棵树种植点的坐标为（1，403）．
故答案为：（1，403）．

点评 本题考查了坐标位置的确定，根据题目条件找出横坐标与纵坐标的通项公式是解题的关键，规律性较强，难度较大．