Question

20．如图，AB是⊙O的弦，AB=2$\sqrt{3}$，∠AOB=120°，点C是弦AB所对优弧$\widehat{AB}$上的一动点．

（I）当AC最大时，求BC的长；
（2）当△ACB的面积最大时，连接点C与劣弧$\widehat{BC}$的中点E，延长EC与过点A的AE的垂线交于点F，点H是AF的中点，连接CH，求证：CH是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）如图1中，当AC是直径时，AC的值最大，连接BC．根据BC=AB•tan30°，计算即可．
（2）如图2中，当△ABC面积最大时，点C是$\widehat{AB}$的中点，推出∠AOC=∠BOC=∠AOB=120°，由$\widehat{EC}$=$\widehat{EB}$，推出∠COE=∠EOB=60°，推出∠AOE=∠AOB+∠EOB=180°，推出AE是⊙O的直径，推出∠ACE=90°，由HF=HA，推出HC=HF=HA，由∠FAC=90°-∠CAF=60°，推出△AHC是等边三角形，推出∠HCA=60°，由OA=OC，推出∠OAC=∠OCA=30°，推出∠HCP=∠HCA+∠ACO=90°，即可证明．

解答 解：（1）如图1中，当AC是直径时，AC的值最大，连接BC．
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠A=∠OBA=30°，
∴BC=AB•tan30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2．

（2）如图2中，当△ABC面积最大时，点C是$\widehat{AB}$的中点，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=120°，
∵$\widehat{EC}$=$\widehat{EB}$，
∴∠COE=∠EOB=60°，
∴∠AOE=∠AOB+∠EOB=180°，
∴AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∵HF=HA，
∴HC=HF=HA，
∵∠FAC=90°-∠CAF=60°，
∴△AHC是等边三角形，
∴∠HCA=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠HCP=∠HCA+∠ACO=90°，
∴HC⊥OC，
∴CH是⊙O的切线．

点评 本题考查切线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．