Question

11．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，CD=AD，分别延长CD、BA相交于点E，且AE=$\sqrt{2}$OA，若BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 连接AC，OD交于F，由CD=AD，得到$\widehat{CD}$=$\widehat{AD}$，根据垂径定理得到OD⊥AC，AD=CF，根据三角形的中位线的性质得到OF∥BC，根据相似三角形的性质得到$\frac{OD}{BC}=\frac{OE}{BE}$，于是得到结论．

解答 解：连接AC，OD交于F，
∵CD=AD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{AD}$，
∴OD⊥AC，AD=CF，
∵AO=BO，
∴OF∥BC，
∵OD∥BC，
∴△ODE∽△BEC，
∴$\frac{OD}{BC}=\frac{OE}{BE}$，
∵AE=$\sqrt{2}$OA，
∴$\frac{OA}{6}=\frac{（1+\sqrt{2}）OA}{（2+\sqrt{2}）OA}$，
∴OA=3$\sqrt{2}$．
∴⊙O的半径是3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．