Question

6．如图，在△ABC中，∠A=120°，点D是BC的中点，点E是AB上的一点，点F是AC上的一点，∠EDF=90°，且BE=2，FC=7，则EF=$\sqrt{39}$．

Answer 1

分析 延长ED至G，使DG=DE，连接CG、FG，证CDG≌△BDE得CG=BE=2、∠GCD=∠B，由∠A=120°即∠B+∠ACB=60°得∠DCG+∠ACB=60°，即∠GCF=60°，作GH⊥FC，求得GH=GCsin∠GCF=$\sqrt{3}$、CH=GCcos∠GCF=1、FH=6，DE⊥DF，DG=DE，利用勾股定理即可得出答案．

解答 解：延长ED至G，使DG=DE，连接CG、FG，如图所示：

在△CDG和△BDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{∠CDG=∠BDE}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△BDE（SAS），
∴CG=BE=2，∠GCD=∠B，
∵∠A=120°，
∴∠B+∠ACB=60°，
∴∠DCG+∠ACB=60°，即∠GCF=60°，
过点G作GH⊥FC于点H，
∴GH=GCsin∠GCF=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，CH=GCcos∠GCF=2×$\frac{1}{2}$=1，
则FH=FC-CH=7-1=6，
∵DE⊥DF，DG=DE，
∴EF=FG=$\sqrt{G{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{39}$，
故答案为：$\sqrt{39}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数的应用，通过作辅助线构造三角形全等是解决问题的关键．