题目内容

10．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出    若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
（2）你能否也从中取出若干根摆出等边“整数三角形”？如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．

分析 （1）根据为“整数三角形”的定义画出图形即可．
（2）不存在．设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2．因为，若边长a为整数，那么面积$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2一定非整数，由此即可判断．

解答 解：（1）小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：

小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：
  
（2）不能摆出等边“整数三角形”．
理由如下：设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2．
因为，若边长a为整数，那么面积$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2一定非整数．
所以不存在等边“整数三角形”．

点评 本题考查作图-应用设计作图、“整数三角形”的定义，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．

练习册系列答案
相关题目
20．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°

（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？
（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？
（2、3小题只需选一题说明理由）
1．以下各组线段为边长能组成直角三角形的是（　　）
A．4、5、6B．2、$\sqrt{2}$、4C．11、12、13D．5，12，13
18．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．AF=$\frac{1}{2}$ADB．AB=AFC．△AFD≌△DCED．BE=AD-DF
5．下列函数中不是一次函数的是（　　）
A．y=xB．y=2x-1C．y=|x|D．y=1-2x
15．观察下列4个命题：其中真命题是（　　）
（1）三角形的外角和是180°；
（2）三角形的三个内角中至少有两个锐角；
（3）直角三角形两锐角互余；
（4）相等的角是对顶角．
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）
2．如图（a），在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，现以AB所在直线为对称轴，△ABC经轴对称变换后的图形为△DEF．
（1）求四边形ACBF的面积；
（2）如图（b），若△ABC和△DEF从初始位置（如图（a）所示）在射线AB上沿AB方向同时开始平移，△ABC的运动速度是每秒2个单位，△DEF的运动速度是每秒1个单位，设运动时间为t秒．
①当0＜t＜$\sqrt{5}$时，求线段AE的长度（用含t的代数式表示）；
②当△AEF是等腰三角形时，求t的值；
（3）在第（2）题的图形运动过程中，是否存在一点A、C、B、F组成的四边形为矩形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
19．如图，点F，E分别在线段AB和CD上，下列条件能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1=∠2B．∠1=∠4C．∠4=∠2D．∠3=∠4
20．如图1，△ABC和△CDE为等边三角形，且边长分别为a，b，点D和E分别在边AC和BC上，点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF
（1）判断四边形FGHI是什么特殊四边形？并说明理由．
（2）当a=6，b=2时，求四边形FGHI的周长．
（3）如图2，当四边形FGHI是正方形时，连接AE，BD，相交于点N，点N，H恰好在FC上，若a=2+$\sqrt{3}$，求b的值．

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