Question

已知：等边△ABC，点P是直线BC上一点，且PC：BC=1：4，则tan∠APB=

 

．

Answer 1

考点：解直角三角形,等边三角形的性质

专题：分类讨论

分析：过A作AD⊥BC于D，设等边△ABC的边长为4a，则DC=2a，AD=2

3

a，PC=a，分类讨论：当P在BC的延长线上时，DP=DC+CP=2a+a=3a；当P点在线段BC上，即在P′的位置，则DP′=DC-CP′=a，然后分别利用正切的定义求解即可．

解答：解：如图，过A作AD⊥BC于D，
设等边△ABC的边长为4a，则DC=2a，AD=2

3

a，PC=a，
当P在BC的延长线上时，DP=DC+CP=2a+a=3a，
在Rt△ADP中，tan∠APD=

AD

DP

=

2 3 a

3a

=

2

3

3

；
当P点在线段BC上，即在P′的位置，则DP′=DC-CP′=a，
在Rt△ADP′中，tan∠AP′D=

AD

DP′

=

2 3 a

a

=2

3

．
故答案为2

3

或

2

3

3

．

点评：本题考查了解直角三角形：利用三角函数和勾股定理求三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了分类讨论思想的运用．