题目内容
四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．
考点：数的整除性
专题：
分析：先设这四个数为x1，x2，x3，x4，且它们的和能被其中的x2，x3，x4整除，x2＜x3＜x4；可得（x1+x3+x4）÷x2=4，同理（x1+x2+x4）÷x3=3，（x1+x2+x3）÷x4=2；则4x3=5x2=3x4；可以知道，x2能被12整除，从而求解．
解答：解：先设这四个数为x1，x2，x3，x4，且它们的和能被其中的x2，x3，x4整除，x2＜x3＜x4；则根据题意有：
（x1+x2+x3+x4）÷x2=1+（x1+x3+x4）÷x2=N（自然数），即（x1+x3+x4）÷x2=N-1，
因为他们的首位数字相同，
所以N-1应该在3附近，
又因为x2＜x3＜x4，
所以（x1+x3+x4）÷x2=4，
同理（x1+x2+x4）÷x3=3，
（x1+x2+x3）÷x4=2；
则4x3=5x2=3x4；
由5x2=3x4可得2x2=3（x4-x2），
因为x4和x2的首位数字相同，
所以x4-x2最大为99，即x2最大为148，
且由4x3=5x2=3x4可以知道，x2应该能被12整除，
故x2可以为108，120，132，144；
进而求出x3为135，150…，x4为180，200…；
所以x2只能取为x2=108，
从而x3=135，x4=180，x1=117，即这四个数是117，108，135，180．
（x1+x2+x3+x4）÷x2=1+（x1+x3+x4）÷x2=N（自然数），即（x1+x3+x4）÷x2=N-1，
因为他们的首位数字相同，
所以N-1应该在3附近，
又因为x2＜x3＜x4，
所以（x1+x3+x4）÷x2=4，
同理（x1+x2+x4）÷x3=3，
（x1+x2+x3）÷x4=2；
则4x3=5x2=3x4；
由5x2=3x4可得2x2=3（x4-x2），
因为x4和x2的首位数字相同，
所以x4-x2最大为99，即x2最大为148，
且由4x3=5x2=3x4可以知道，x2应该能被12整除，
故x2可以为108，120，132，144；
进而求出x3为135，150…，x4为180，200…；
所以x2只能取为x2=108，
从而x3=135，x4=180，x1=117，即这四个数是117，108，135，180．
点评：考查了数的整除性，本题可设这四个数为x1，x2，x3，x4，且它们的和能被其中的x2，x3，x4整除，x2＜x3＜x4；x4和x2的首位数字相同，所以x4-x2最大为99，即x2最大为148，x2应该能被12整除，得到x2的值．
练习册系列答案
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| ||
B、
| ||
C、
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D、
|
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