Question

18．如图，CD是直角△ABC斜边上的中线，过点D作垂直于AB的直线交BC于点F，交AC的延长线于点E．
（1）求证：△ADE∽△FDB；
（2）若DF=2，EF=6，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意，得∠A+∠B=90°，∠A+∠E=90°，则∠E=∠B，易证△ADE∽△FDB；
（2）由Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，得AD=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB，由（1）中的结论，得出$\frac{AD}{FD}$=$\frac{DE}{DB}$，进一步整理代入求得答案即可．

解答 （1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠FDB=90°，
∴∠A+∠E=90°，
∵Rt△ABC中∠A+∠B=90°，
∴∠E=∠B，
∴△ADE∽△FDB …（4分）
（2）解：∵CD是直角△ABC斜边上的中线，
∴AD=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵△ADE∽△FDB，
∴$\frac{AD}{FD}$=$\frac{DE}{DB}$，
∵DF=2，EF=6，
∴DE=8
∴$\frac{\frac{1}{2}AB}{2}$=$\frac{8}{\frac{1}{2}AB}$，
∴AB=8，
∴CD=4．

点评 本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．