Question

13．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，将△ABC绕点A旋转60°到△ADE的位置，点C的对应点为E，连接CD，若AC=BC=1，则CD的长为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 分类讨论：当△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE的位置，如图1，作CH⊥ED于H，连结CE，根据旋转的性质得∠EAC=60°，∠AED=∠ACB=90°，AE=ED=AC=1，则可判断△AEC为等边三角形，所以∠AEC=60°，EC=CA=1，易得∠DEC=30°，然后在Rt△CEH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$，EH=$\sqrt{3}$CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以DH=ED-EH=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是在Rt△CHD中，利用勾股定理可计算出CD；当△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE的位置，如图2，连结CE，作DH⊥CE于H，同样可证明△AEC为等边三角形得到∠AEC=60°，EC=CA=1，则∠DEC=150°，所以∠DEH=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系在Rt△DEH中可计算出DH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$，EH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则CH=CE+EH=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后在Rt△CHD中，利用勾股定理计算CD．

解答 解：当△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE的位置，如图1，作CH⊥ED于H，连结CE，
则∠EAC=60°，∠AED=∠ACB=90°，AE=ED=AC=1，
∴△AEC为等边三角形，
∴∠AEC=60°，EC=CA=1，
∴∠DEC=30°，
在Rt△CEH中，CH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$，EH=$\sqrt{3}$CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DH=ED-EH=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△CHD中，CD=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$；
当△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE的位置，如图2，连结CE，作DH⊥CE于H，
则∠EAC=60°，∠AED=∠ACB=90°，AE=ED=AC=1，
∴△AEC为等边三角形，
∴∠AEC=60°，EC=CA=1，
∴∠DEC=150°，
∴∠DEH=30°，
在Rt△DEH中，DH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$，EH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CH=CE+EH=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△CHD中，CD=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
纵上所述，CD的长为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$或=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$或=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．注意分类讨论思想的运用．