Question

3．如图，点P是一次函数与反比例函数图象交于第一象限内的点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S_△PAC=1，$\frac{OB}{OD}$=$\frac{1}{2}$，tan∠ACP=$\frac{1}{2}$．求：
（1）点D的坐标（0，-2）；
（2）一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象直接写出：当x＞0，一次函数的值小于反比例函数的值时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由一次函数y=kx+b可知，D点坐标为（0，b），即OD=-b，结合tan∠ACP=$\frac{1}{2}$，S_△PAC=1，求出b的值，D点的坐标即可求出；
（2）在Rt△ODC，tan∠OCD=tan∠ACP=$\frac{1}{2}$，再求出P点坐标，于是可以求出一次函数与反比例函数的解析式；
（3）由两函数的图象直接写出x的取值范围即可．

解答 解：（1）由一次函数y=kx+b可知，D点坐标为（0，b），即OD=-b．
∵$\frac{OB}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴OB=-$\frac{1}{2}$b．
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
∴四边形OAPB为矩形．
∴PA=0B=-$\frac{1}{2}$b．
在Rt△PAC中，tan∠ACP=$\frac{1}{2}$，
∴AC=-b，
∵S_△PAC=1，
∴b=-2，即D点坐标为（0，-2）；
故答案为（0，-2）；
（2）在Rt△ODC，tan∠OCD=tan∠ACP=$\frac{1}{2}$，
∴OC=2OD=4，OA=6，
∴P点的坐标为（6，1），
∴一次函数与反比例函数的解析式分别为y=$\frac{1}{2}$x-2、y=$\frac{6}{x}$；

（3）由图象可知，一次函数与反比例函数图象的交点为P（6，1），
当0＜x＜6时一次函数的值小于反比例函数的值．

点评 本题是一道反比例函数的综合试题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式和求一次函数的解析式，由图象特征确定自变量的取值范围．