Question

11．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，求证：
（1）BE=CD；
（2）FA平分∠EFC；
（3）∠BFD=60°；
（4）FE+FC=FA．

Answer 1

分析 （1）欲证明BE=CD，只要证明△BAE≌△DAC即可；
（2）作AM⊥BE于M，AN⊥DC于N．只要证明AM=AN即可解决问题；
（3）利用“八字型”证明∠OFD=∠OAB即可；
（4）由Rt△AME≌Rt△ANC，△AFM≌△AFN，可得EM=CN，FM=FN，推出EF+CF=FM+EN+FN-CN=2FN，由∠MFN=120°，∠AMF=∠ANF=90°，推出∠MAN=60°，推出∠FAN=∠FAM=30°，可得AF=2FN，由此即可解决问题；

解答 证明：（1）∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC，
∴BE=CD．
（2）作AM⊥BE于M，AN⊥DC于N．
∵△BAE≌△DAC，
∴AM=AN（全等三角形对应边上的高相等），
∴AFM=∠AFN，
∴AF平分∠EFC．

（3）设BF交AD于O．
∵△BAE≌△DAC，
∴∠ABO=∠ODF，
∵∠AOB=∠DOF，
∴∠OFD=∠OAB=60°，即∠BFD=60°．
（4）在Rt△AME和Rt△ANC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AME≌Rt△ANC，同理可证△AFM≌△AFN，
∴EM=CN，FM=FN，
∴EF+CF=FM+EN+FN-CN=2FN，
∵∠MFN=120°，∠AMF=∠ANF=90°，
∴∠MAN=60°，
∴∠FAN=∠FAM=30°，
∴AF=2FN，
∴EF+CF=FA．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．角平分线的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．