Question

16．如图，直线y=kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4）．
（1）求直线MN的解析式；
（2）根据图象，写出不等式kx+b≥0的解集；
（3）若点P在x轴上，且点P到直线y=kx+b的距离为$\frac{12}{5}$，直接写出符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点M、N的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值；
（2）直线y=kx+b在x轴及其上方的部分对应的x的取值范围即为所求；
（3）作△OMN的高OA．在Rt△OMN中利用勾股定理求出MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=5．根据三角形的面积公式求出OA=$\frac{OM•ON}{MN}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，则点P的坐标是（0，0）；在x轴上作O关于M的对称点为（6，0），易得（6，0）到直线y=kx+b的距离也为$\frac{12}{5}$．

解答 解：（1）∵直线y=kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），
所以$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线MN的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+4；

（2）根据图形可知，当x≤3时，y=kx+b在x轴及其上方，即kx+b≥0，
则不等式kx+b≥0的解集为x≤3；

（3）如图，作△OMN的高OA．
在Rt△OMN中，∵OM=3，ON=4，∠MON=90°，
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=5．
∵S_△OMN=$\frac{1}{2}$MN•OA=$\frac{1}{2}$OM•ON，
∴OA=$\frac{OM•ON}{MN}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴点P的坐标是（0，0）；
在x轴上作O关于M的对称点为（6，0），易得（6，0）到直线y=kx+b的距离也为$\frac{12}{5}$，
所以点P的坐标是（0，0）或（6，0）．

点评 本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，点到直线的距离，勾股定理．难度适中．