Question

5．如图，已知△ABC≌△CDA，将△ABC沿AC所在的直线折叠至△AB′C的位置，点B的对应点为B′，连结BB′．
（1）直接填空：B′B与AC的位置关系是垂直；
（2）点P、Q分别是线段AC、BC上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知△BB′C的面积为36，BC=8，求PB+PQ的最小值；
（3）试探索：△ABC的内角满足什么条件时，△AB′E是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根据翻折变换的性质得到AB=AB′，∠BAC=∠B′AC，根据等腰三角形的性质得到结论；
（2）根据三角形的面积公式求出△BB′C的BC边上的高，根据轴对称变换的性质解答；
（3）分∠AB′E=90°和∠AEB′=90°两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答．

解答 解：（1）由翻折变换的性质可知，AB=AB′，∠BAC=∠B′AC，
∴B′B⊥AC，
故答案为：垂直；
（2）∵AB=AB′，∠BAC=∠B′AC，
∴AC是B′B的垂直平分线，
∴点B′与点B关于直线AC轴对称，
连接B′Q，则B′Q是PB+PQ的最小值，
∵△BB′C的面积为36，BC=8，
∴△BB′C的BC边上的高为36×2÷8=9，
当B′Q⊥BC时，B′Q最小，
∴PB+PQ的最小值为9；
（3）①如图1，当∠ACB=45°时，∠AEB′=90°．
∵由翻折变换的性质可知，∠BCA=∠B′CA，
∴∠BCB′=90°，
∵△ABC≌△CDA，
∴AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD的平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB′=∠BCB′=90°；
②如图2，由翻折变换的性质可知，当∠ABC=90°时，∠AB′E=90°．

点评 本题考查的是翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．