Question

【题目】如图，已知锐角内接于⊙O， 于点D，连结AO.

⑴若.

①求证：；

②当时，求面积的最大值；

⑵点E在线段OA上，，连接DE，设，（m、n是正数），若，求证：

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②△ABC面积的最大值是；（2）见解析.

【解析】

（1）①连接OB，OC，由圆的性质可得答案；

②先作AF⊥BC，垂足为点F，要使得面积最大，则当点A，O，D在同一直线上时取到

再根据三角形的面积公式即可得到答案；

（2）先设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，由锐角三角形性质得到

即 ，再结合题意及三角形内角和的性质得到

两式联立即可得到答案.

（1）①证明：连接OB，OC，

因为OB=OC，OD⊥BC，

所以∠BOD=∠BOC=×2∠BAC=60°，

所以OD=OB=OA

②作AF⊥BC，垂足为点F，

所以AF≤AD≤AO+OD=，等号当点A，O，D在同一直线上时取到

由①知，BC=2BD=，

所以△ABC的面积

即△ABC面积的最大值是

（2）设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，

因为△ABC是锐角三角形，

所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°，

即 （*）

又因为∠ABC<∠ACB，

所以∠EOD=∠AOC+∠DOC

因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°，

所以（**）

由（*），（**），得，

即