题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在边AC，BC上），给出以下判断：①当CD⊥AB时，EF为△ABC的中位线；②当四边形CEDF为矩形时，AC＝BC；③当点D为AB的中点时，△CEF与△ABC相似；④当△CEF与△ABC相似时，点D为AB的中点．其中正确的是_____（把所有正确的结论的序号都填在横线上）．
【答案】①③
【解析】
①如图1，根据折叠的性质得到CE=DE，根据直角三角形的性质即可得到结论；
②根据矩形的性质得到CE=DE，折叠四边形CEDF是正方形，根据任意一个直角三角形都有一个内接正方形即可得到结论；
③如图2，连接CD，与EF交于点Q，根据直角三角形的性质得到CD=DB=
AB，于是得到∠DCB=∠B，由轴对称的性质得到∠CQF=∠DQF=90°，推出∠DCB+∠CFE=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CFE=∠A，即可得到结论；
④分两种情况讨论：当△CEF∽△CBA时，由相似三角形的性质得到∠EFD=∠CAB，∠EDF=∠ECF=90°，推出C，E，D，F四点共圆，根据圆周角定理得到∠ACD=∠EFD，等量代换得到∠ACD=∠A，根据等腰三角形的性质得到AD=CD，同理CD=BD，即可得到结论；当△CEF∽△CAB时，点D不一定是AB的中点，取决于AC与AB的关系．
①如图1，
∵翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF，
∴CE＝DE，
∴∠ECD=∠EDC
∵CD⊥AB，
∴∠ECD+∠A=∠EDC+∠EDA=90°
∴∠EDA=∠A
∴DE＝AE，
∴AE＝CE，同理CF＝BF，
∴EF为△ABC的中位线；故①正确；
②∵CE＝DE，四边形CEDF为矩形
∴折叠四边形CEDF是正方形，根据任意一个直角三角形都有一个内接正方形，
AC不一定等于BC,故②错误；
③当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似，
理由如下：如图2，连接CD，与EF交于点Q，
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD＝DB＝AB，
∴∠DCB＝∠B，
由轴对称的性质可知，∠CQF＝∠DQF＝90°，
∴∠DCB+∠CFE＝90°，
∵∠B+∠A＝90°，
∴∠CFE＝∠A，
又∵∠C＝∠C，
∴△CEF∽△CBA；故③正确；
④△CEF与△ABC相似，
当△CEF∽△CBA时，
∴∠EFD＝∠CAB，∠EDF＝∠ECF＝90°，
∴C，E，D，F四点共圆，
∴∠ACD＝∠EFD，
∴∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD，同理CD＝BD，
∴点D为AB的中点，
当△CEF∽△CAB时，
点D不一定是AB的中点，
故④错误．
故答案为：①③．
导学与测试系列答案
新非凡教辅冲刺100分系列答案【题目】现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．
（1）根据题意，填写下表：
重量（千克） 费用（元） | 0.5 | 1 | 3 | 4 | … |
甲公司 | _________ | 22 | _________ | 67 | … |
乙公司 | 11 | ________ | 51 | _________ | … |
（2）请分别写出甲乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；
（3）小明应选择哪家快递公司更省钱？
