Question

17．如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点F在线段DE上，且EF=2DF，过点C的直线CG交OA的延长线于点G，且∠CGO=∠CDE．
（1）求证：CG与弧AB所在圆相切．
（2）当点C在弧AB上运动时，△CFD的三条边是否存在长度不变的线段？若存在，求出该线段的长度；若不存在，说明理由．
（3）若∠CGD=60°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的判断，可得OCDE的形状，根据矩形的性质，可得∠CDE+∠EDO=90°，∠EDO=∠COD，根据余角的性质，可得∠CGO+COD=90°，根据切线的判定，可得答案；
（2）根据矩形的性质，可得CD的长，根据EF与DF的关系，可得DF的长；
（3）根据锐角三角函数，可得CD、OD的长，根据根据图形割补法，可得阴影的面积．

解答 （1）证明：如图：，
∵点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
∵∠DOE=90°，
∴ODCE是矩形，
∴∠CDE+∠EDO=90°，∠EDO=∠COD．
∵∠CGO=∠CDE，
∴∠CGO+∠COD=90°，
∴∠OCG=90°，
∵CG经过半径OC的外端，
∴CG是⊙O的切线，即CG与弧AB所在圆相切；
（2）DF不变．
在矩形ODCE中，∵DE=OC=3，EF=2DF，∴DF=$\frac{1}{3}$DE=$\frac{1}{3}$ OC=1，
DF的长不变，DF=1；
（3）∵∠CGD=60°，
∴∠COD=30°，
∴CD=OC•sin∠COD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$，OD=OC•cos∠COD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
图中阴影部分的面积$\frac{30°}{360°}$×π×3²-$\frac{1}{2}$CD•OD=$\frac{3π}{4}$-$\frac{9\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了圆的综合题，利用了矩形的判定与性质，余角的性质，切线的判定，利用了矩形的对角线相等，利用面积的和差是求阴影面积的关键．