Question

14．如图，在☉O中，直径AD交弦BC于E，OE=AE，∠ACB=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{8}{9}π-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{8}{9}π-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{18}π-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{16}{9}π-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 连接AB，根据已知条件得到∠AOB=60°，根据等边三角形的性质得到BC⊥AO，由垂径定理得到BE=CE=2，根据扇形和三角形的面积即刻得到结论．

解答 解：连接AB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵OE=AE，
∴BC⊥AO，
∴BE=CE=2，
∴OE=AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴图中阴影部分的面积=$\frac{60•π×（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{8}{9}$π-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选A．

点评 本题考查了扇形的面积，三角形的面积，垂径定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．