Question

4．如图，AD是△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AB交AD于点F，CF的延长线交AB于点G，求证：AG=AC．

Answer 1

分析 先根据E为BC的中点，EF∥AB，得到F是CG的中点，再延长AF至P，使得PF=AF，根据SAS判定△PFC≌△AFG，进而得出AG=CP，∠GAF=∠P，再根据AD是△ABC的平分线，得到∠CAF=∠GAF=∠P，得出AC=CP，即可得到AG=AC．

解答 证明：∵E为BC的中点，EF∥AB，
∴$\frac{CF}{FG}$=$\frac{CE}{EB}$=1，
∴F是CG的中点，即CF=GF，
如图，延长AF至P，使得PF=AF，
在△PFC和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=AF}\\{∠PFC=∠AFG}\\{CF=GF}\end{array}\right.$，
∴△PFC≌△AFG（SAS），
∴AG=CP，∠GAF=∠P，
又∵AD是△ABC的平分线，
∴∠CAF=∠GAF，
∴∠P=∠CAF，
∴AC=CP，
∴AG=AC．

点评 本题主要考查了三角形中位线定理，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推导．