Question

1．如图，矩形ABCD中，点O在对角线AC上，EF⊥AC交AB于E点，交AD于点F．
（1）求证：△AEF∽△BCA；
（2）若$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{4}$，BC=2AB，求$\frac{AF}{DF}$．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠B=∠BAD=90°，再证出∠AEF=∠BCA，即可证出△AEF∽△BCA；
（2）先证出△AOF∽△EAF，得出△AOF∽△CBA，得出对应边成比例$\frac{AF}{AC}=\frac{OA}{BC}$，设OA=x，则AC=5x，由BC=2AB，得出AD=2$\sqrt{5}$x，求出AF，得出DF，即可求出$\frac{AF}{DF}$．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，AD=BC，
∴∠CAB+∠BCA=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠AOF=90°，
∴∠CAB+∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠BCA，
∴△AEF∽△BCA；
（2）解：∵∠AFO=∠EFA，∠AOF=∠EAF=90°，
∴△AOF∽△EAF，
∴△AOF∽△CBA，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{OA}{BC}$，
∵$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{4}$，
∴AC=5OA，
设OA=x，则AC=5x，
∵BC=2AB，
∴AB=$\sqrt{5}$x，AD=BC=2$\sqrt{5}$x，
∴$\frac{AF}{5x}=\frac{x}{2\sqrt{5}x}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{5}x}{2}$，
∴DF=2$\sqrt{5}$x-$\frac{\sqrt{5}x}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}x}{2}$，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．