Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB=∠ADC即可解决问题．
（2）结论：△ABE是等边三角形．只要证明△ABD≌△EBC即可．
（3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，理由全等三角形的性质即可解决问题．

解答 （1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，
在△ADB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$（360°-60°）=150°．

（2）解：结论：△ABE是等边三角形．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠ADB=∠BCE=150°}\\{∠ABD=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBC，
∴AB=BE，∵∠ABE=60°，
∴△ABE是等边三角形．

（3）解：连接DE．
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，
∴∠DCE=90°，
∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，
∴∠EDC=30°，
∴EC=$\frac{1}{2}$DE=4，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC=4．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．