Question

13．已知：a，b是关于x的一元二次方程x²-6x+n-1=0的两根．
（1）求n的取值范围；
（2）若等腰三角形三边长分别为a，b，2，求n的值．

Answer 1

分析 （1）方程有实数根，则△≥0，建立关于n的不等式，求出m的取值范围．
（2）由三角形是等腰三角形，得到两种情况①a=2或b=2，②a=b；①当a=2，或b=2时，得到方程的根x=2，把x=2代入x²-6x+n-1=0即可得到结果；②当a=b时，方程x²-6x+n-1=0有两个相等的实数根，由△=（-6）²-4（n-1）=0可的结果．

解答 解：（1）由题意，得
△=b²-4ac=（-6）²-4（n-1）=40-4n，
∵a、b是关于x的一元二次方程x²-6x+n-1=0的两根，
∴40-4n≥0．
∴n≤10．

（2））∵三角形是等腰三角形，
∴①a=2或b=2，②a=b两种情况，
①当a=2，或b=2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x²-6x+n-1=0的两根，
∴x=2，
把x=2代入x²-6x+n-1=0得，2²-6×2+n-1=0，
解得：n=9，
当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n=9不合题意，舍去；
②当a=b时，方程x²-6x+n-1=0有两个相等的实数根，
∴△=（-6）²-4（n-1）=0
解得：n=10，
综上所述，n=10．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式．解题时，注意分类讨论思想的应用．