Question

4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，8），点B（6，0），点P从B点以每秒1个单位的速度沿着BA方向出发，当点P运动到点A时停止，若设点P运动时间为t秒．
（1）当t=2时，AP=8（请直接写出答案）；
（2）当△OBP是直角三角形时，t=10s或3.6s（请直接写出答案）；
（3）当t为何值时，△OBP是等腰三角形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点的坐标得出OA=8，OB=6，由勾股定理求出AB，即可得出AP的长；
（2）分两种情况：①当∠BOP=90°时，PB=AB=10，得出t=10；②当∠OPB=90°时，证明△OBP∽△ABO，得出对应边成比例求出BP，即可得出结果；
（3）分三种情况：①当PB=PO时，∠POB=∠PBO，证出∠OAP=∠AOP，得出OP=AP，求出PB=$\frac{1}{2}$AB=5，即可得出结果；②当BP=BO=6时，得出t=6；③当OP=OB=6时，作OM⊥PB于M，则BM=PM=$\frac{1}{2}$BP，由（2）得：BM=3.6，得出BP=2BM=7.2，即可得出结果．

解答 解：（1）∵A（0，8），点B（6，0），
∴OA=8，OB=6，
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵BP=t=2，
∴AP=AB-BP=8；
故答案为：8；
（2）分两种情况：①当∠BOP=90°时，PB=AB=10，
∴t=10s；
②当∠OPB=90°时，∠OPB=∠AOB，
又∵∠OBP=∠ABO，
∴△OBP∽△ABO，
∴$\frac{PB}{OB}=\frac{OB}{AB}$，即$\frac{PB}{6}=\frac{6}{10}$，
解得：PB=3.6，
∴t=3.6s；
综上所述：当△OBP是直角三角形时，t=10s或3.6s；
故答案为：10或3.6；
（3）当t为5s或6s或7.2s时，△OBP是等腰三角形；理由如下：
分三种情况：
①当PB=PO时，∠POB=∠PBO，
∵∠OAP+∠PBO=90°，∠AOP+∠POB=90°，
∴∠OAP=∠AOP，
∴OP=AP，
∴PB=OP=AP=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴t=5s；
②当BP=BO=6时，t=6s；
③当OP=OB=6时，作OM⊥PB于M，如图所示：
则BM=PM=$\frac{1}{2}$BP，
由（2）得：BM=3.6，
∴BP=2BM=7.2，
∴t=7.2s；
综上所述：当t为5s或6s或7.2s时，△OBP是等腰三角形．

点评 本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，进行分类讨论是解决问题的关键．