已知.在△ABC中.∠ACB=90°.CA=CD.CG⊥AD于点H.交AB于点G.E为AB上一点.连接CE交AD于点F．(1)如图1.若CE⊥AB于点E.HG=1.CH=5.求CF的长,(2)如图2.若AC=AE.∠GEH=∠ECH.求证:CE=$2\sqrt{2}$HE,(3)如图3.若E为AB的中点.作A关于CE的对称点A′.连接CA′.EA′.DA′.请直接写出∠CEH.∠A′CD.∠EA′D之� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CD，CG⊥AD于点H，交AB于点G，E为AB上一点，连接CE交AD于点F．
（1）如图1，若CE⊥AB于点E，HG=1，CH=5，求CF的长；
（2）如图2，若AC=AE，∠GEH=∠ECH，求证：CE=$2\sqrt{2}$HE；
（3）如图3，若E为AB的中点，作A关于CE的对称点A′，连接CA′，EA′，DA′，请直接写出∠CEH，∠A′CD，∠EA′D之间的等量关系．

分析（1）关键已知条件推出△ACD是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得到∠CAD=∠CDA=45°通过全等三角形得到HF=HG=1，由勾股定理得到结论；
（2）如图2，过H作MH⊥EH，交CE于M，连接AM，由已知条件得到△EHM为等腰直角三角形，∠EHM=90°，于是得到EH=MH，EM=$\sqrt{2}$HE，关键全等三角形的性质得到∠MAF=∠ECH证得△ACE是等腰三角形于是得到结论；
（3）关键三角形的中位线的性质得到EH∥BC，根据轴对称的性质得到∠CA′E=∠CAE=90°-∠CEH，CA=CA′，根据三角形的内角和得到∠A′CD+90°-∠CEH+∠EA′D+90°-∠CEH+∠EA′D=180°，即可得到结论．

解答解：（1）∵∠ACB=90°，CA=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
∵CG⊥AD，
∴∠CHF=∠AHG=90°，∠ACH=∠DCH=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，AH=DH=CH=5，
∴∠GAH+∠AGC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEG=90°，
∴∠GCE+∠AGC=90°，
∴∠GCE=∠GAH，
在△CHF与△AHG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GCE=∠GAH}\\{CH=AH}\\{∠CHF=∠AHG=90°}\end{array}\right.$，
∴△CHF≌△AHG，
∴HF=HG=1，
∴CF=$\sqrt{C{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$；

（2）如图2，过H作MH⊥EH，交CE于M，连接AM，
∵AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE，
∵∠GEH=∠ECG，
∵MH⊥EH，
∴△EHM为等腰直角三角形，∠EHM=90°，
∴EH=MH，EM=$\sqrt{2}$HE，
∴∠AHM=∠AHC+∠CHM=90°+∠CHM=∠EHM+∠CHM=∠CHE，
在△AHM与△CHE中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=CH}\\{∠AHM=∠CHE}\\{MH=EH}\end{array}\right.$，
∴△AHM≌△CHE，
∴∠MAF=∠ECH，
∴∠MAF+∠AFC=∠ECH+∠AFC=180°，
∴∠CHD=180°-90°，
∴AM⊥CE，
∵AC=AE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴CM=EM=$\sqrt{2}$HE，
∴CE=2EM=2$\sqrt{2}$HE；

（3）∵H为AD的中点，E为AB的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BC，
∴∠CEH=∠BCE，
∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=90°-∠BCE=90°-∠CEH，
∵EC=AE，
∴∠CAE=∠ACE=90°-∠CEH，
∴∠CAE=∠ACE=90°-∠CEH，
∵A关于CE的对称点A′，
∴∠CA′E=∠CAE=90°-∠CEH，CA=CA′，
∵CA=CD，
∴CA′=CD，
∴∠CDA′=∠CA′D=∠CA′E+∠EA′D=90°-∠CEH+∠EA′D，
∵∠A′CD+∠CDA′+∠CA′D=180°，
∴∠A′CD+90°-∠CEH+∠EA′D+90°-∠CEH+∠EA′D=180°，
化简得：∠A′CD+2∠EA′D=2∠CEH，