Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G，给出以下五个结论：
①∠B=∠C=45°；
②AE=CF，
③AP=EF，
④△EPF是等腰直角三角形，
⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．
其中正确的结论是（　　）

• A． 只有①
• B． ①②④
• C． ①②③④
• D． ①②④⑤

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得：∠B=∠C=45°，AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴①∠B=∠C=$\frac{1}{2}$×（180°-90°）=45°，AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA．
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴②AE=CF；④EP=PF，即△EPF是等腰直角三角形；同理可证得△APF≌△BPE，
∴⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半，
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故③错误；
④∵∠AGF=∠EGP=180°-∠APE-∠PEF=180°-∠APE-45°，
∠AEP=180°-∠APE-∠EAP=180°-∠APE-45°，
∴∠AEP=∠AGF．
故正确的有①、②、④、⑤，共四个．
因此选D．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．