题目内容
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，D、E分别为边AB、AC的中点，连结DE．点P从点A出发，沿折线AE-ED运动，到点D停止．点P在折线AE-ED上以每秒1个单位的速度运动．过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边在PQ右侧作正方形PQMN，使点M落在线段BC上．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）当正方形PQMN的顶点N落在AB边上时，求t的值；
（2）连结BE，设正方形PQMN与△BED重叠部分图形的面积为S，请直接写出当3≤t≤9时，S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）当正方形PQMN的顶点P运动到与点E重合时，将正方形PQMN绕点Q逆时针旋转60°得正方形P1QM1N1，问在直线DE与直线AC上是否存在点G和点H，使△GHP1是等腰直角三角形？若存在，请求出EG的长；若不存在，请说明理由（备用图可用于探究）．
分析 （1）分两种情形，①当点P在AE上时，如图1中，由△APN∽△ACB可以解决问题，②当点P在ED上时，PN=3，如图2中求出AE+EP即可、
（2）①如图3中，当3≤t≤6时，重叠部分图形为四边形PGKN，如图4中，②如图4中，当6＜t≤9，重叠部分是五边形PGKHD，分别求出即可．
（3）分三种切线讨论即可①当∠P1GH=90°，②当∠P1HG=90°，③当∠GP1H=90°时．
解答 解：（1）①当点P在AE上时，如图1中，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PN}{BC}$，
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{6-t}{12}$，
∴t=2；
②当点P在ED上时，PN=3，如图2，
∴AE+EP=3+（6-3）=6，
∴t=6；
综上可得t的值为2或6时，正方形PQMN的顶点N落在AB边上；
（2）如图3中，当3≤t≤6时，重叠部分图形为四边形PGKN，
∵GQ∥EC，
∴$\frac{GQ}{EC}$=$\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{GQ}{3}$=$\frac{15-t}{12}$，
∴QG=$\frac{1}{4}$（15-t），PG=3-GQ=$\frac{t-3}{4}$，同理可知NK=$\frac{t}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{4}$（t-3）+$\frac{1}{4}$t]•3=$\frac{3}{4}$t-$\frac{9}{8}$．
如图4中，当6＜t≤9，重叠部分是五边形PGKHD，
S=S四边形PGHN-S△DNH=-$\frac{1}{4}t$2+$\frac{15}{4}$t-$\frac{81}{8}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}t-\frac{9}{8}}&{（3≤t≤6）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{2}+\frac{15}{4}t-\frac{81}{8}}&{（6＜t≤9）}\end{array}\right.$．
（3）存在．理由如下：
过P1作P1S⊥AC于S，P1R⊥DE于R，
∵∠P1QS=60°，P1Q=3，
∴P1S=RE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，QS=$\frac{3}{2}$，
∴P1R=SE=$\frac{3}{2}$．8分
①当∠P1GH=90°时，如图5中，
可证△P1RG≌△GEH，
则EG=P1R=$\frac{3}{2}$；如图6中，同理可得EG=P1R=$\frac{3}{2}$．
②当∠P1HG=90°时，如图7中，
可证△P1SH≌△HEG，
∴EH=P1S=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，EG=SH，
∴EG=EH+SE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{2}$，
或如图8中，EG=EH-SE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$；
③当∠GP1H=90°时，
∵P1S≠P1R，∴△P1SH与△P1RG不可能全等．
∴P1H≠P1G，∴不成立．
综上，EG的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{2}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$．
点评 本题考查相似形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会利用分割法求面积，学会分类讨论注意不能漏解，属于中考压轴题．
阅读快车系列答案| A． | x＞2 | B． | x＞-2 | C． | -2＜x＜2 | D． | x＜-2或 x＞2 |
如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=20°，∠DOF：∠FOB=1：7，射线OE平分∠BOF，则∠EOC=90°．
