Question

8．已知抛物线y=ax²+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，-$\frac{1}{2}$）和（m-b，m²-mb+n），其中a、b、c、m、n为常数，且a、m不为0．
（Ⅰ）求c和n的值；
（Ⅱ）判断抛物线y=ax²+bx+c与x轴的公共点的个数，并说明理由；
（Ⅲ）当-1≤x≤1时，设抛物线y=ax²+bx+c上与x轴距离最大的点为P（x₀，y₀），（y₀＞0），求y₀的最小值．

Answer 1

分析 （1）把点（0，-$\frac{1}{2}$）分别代入y=ax²+bx+c和y=mx+n中可得到c和n；
（Ⅱ）把点（m-b，m²-mb-$\frac{1}{2}$）代入y=ax²+bx-$\frac{1}{2}$整理得到（m-b）²（a-1）=0，判断m-b≠0，则a-1=0，于是得抛物线解析式为y=x²+bx-$\frac{1}{2}$，然后利用判别式的意义判断抛物线y=ax²+bx+c与x轴有2个公共点；
（Ⅲ）先确定抛物线y=x²+bx-$\frac{1}{2}$的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2}$，利用二次函数的图象与性质，分类讨论：①当-1≤-$\frac{b}{2}$＜0，即b＞2时，易得抛物线上与x轴距离最大的点为P（1，y₀），此时y₀＞$\frac{5}{2}$；②当-$\frac{b}{2}$＞1，即0≤b≤2时，易得抛物线与x轴距离最大的点为P（1，y₀），此时y₀≥$\frac{1}{2}$（b=0时取等号）；③当0＜-$\frac{b}{2}$≤1，即-2≤b＜0时，易得抛物线上与x轴距离最大的点为P（-1，y₀），此时y₀＞$\frac{1}{2}$；当-$\frac{b}{2}$＞1，即b＜-2时，易得抛物线上与x轴距离最大的点为P（-1，y₀），此时y₀＞$\frac{5}{2}$，综上所述，当b=0，x₀=1时，y₀的最小值为$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）把点（0，-$\frac{1}{2}$）代入y=ax²+bx+c得c=-$\frac{1}{2}$；
把点（0，-$\frac{1}{2}$）代入y=mx+n得n=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）抛物线y=ax²+bx+c与x轴有2个公共点．理由如下：
把点（m-b，m²-mb-$\frac{1}{2}$）代入y=ax²+bx-$\frac{1}{2}$得a（m-b）²+b（m-b）-$\frac{1}{2}$=m²-mb-$\frac{1}{2}$，
所以（m-b）²（a-1）=0，
当m-b=0时，点（0，-$\frac{1}{2}$）与点（m-b，m²-mb+n）重合，
所以m-b≠0，
所以a-1=0，
解得a=1，
此时抛物线解析式为y=x²+bx-$\frac{1}{2}$，
因为△=b²-4×1×（-$\frac{1}{2}$）=b²+2＞0，
所以抛物线y=ax²+bx+c与x轴有2个公共点；
（Ⅲ）抛物线y=x²+bx-$\frac{1}{2}$的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2}$，
①当-1≤-$\frac{b}{2}$＜0，即b＞2时，
所以在x轴上方，抛物线y=ax²+bx+c上与x轴距离最大的点为P（1，y₀），
此时y₀=1+b-$\frac{1}{2}$=b+$\frac{1}{2}$＞$\frac{5}{2}$，
所以此时y₀的最小值大于$\frac{5}{2}$；
②当-$\frac{b}{2}$＞1，即0≤b≤2时，
所以在x轴上方，抛物线y=ax²+bx+c上与x轴距离最大的点为P（1，y₀），
此时y₀=1+b-$\frac{1}{2}$=b+$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{2}$（b=0时取等号），
所以此时y₀的最小值为$\frac{1}{2}$；
③当0＜-$\frac{b}{2}$≤1，即-2≤b＜0时，
所以在x轴上方，抛物线y=ax²+bx+c上与x轴距离最大的点为P（-1，y₀），
此时y₀=1-b-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-b＞$\frac{1}{2}$
所以此时y₀的最小值大于$\frac{1}{2}$；
④当-$\frac{b}{2}$＞1，即b＜-2时，
所以在x轴上方，抛物线y=ax²+bx+c上与x轴距离最大的点为P（-1，y₀），
此时y₀=1-b-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-b＞$\frac{5}{2}$，
所以此时y₀的最小值大于$\frac{5}{2}$，
综上所述，当b=0，x₀=1时，y₀的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图形性质；利用判别式的意义判断抛物线与x轴的交点个数；运用数形结合和分类讨论的思想解决（3）小题．