Question

7．如图，AB=4，∠C=90°，E为AB中点，D为△ABC内心．当点C在AB上方运动时，则DE的最小值为2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 连接DA、DB，根据内心的概念得到AD、BD是△ABC的角平分线，求出∠ADB=135°，根据圆周角定理、勾股定理计算即可．

解答 解：连接DA、DB，
∵D为△ABC内心，
∴AD、BD是△ABC的角平分线，又∠C=90°，
∴∠ADB=135°，
∴点D在以AB为弦，∠ADB=135°的圆弧上，
设圆弧的圆心为H，连接HE并延长交圆弧于D′，
则当点C在AB上方运动时，D′E最小，
∵∠ADB=135°，
∴∠AHB=90°，
∴D′H=AH=2$\sqrt{2}$，EH=2，
∴D′E=2$\sqrt{2}$-2，
故答案为：2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握内心的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．