Question

16．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC=3$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$，BD=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{3}$．求：菱形ABCD的面积和周长．

Answer 1

分析 根据菱形的对角线可以求得菱形ABCD的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．

解答 解：菱形的对角线为AC=3$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$，BD=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{3}$．
则菱形的面积为$\frac{1}{2}$×（3$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$）×（3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{3}$）=3，
菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}$，AO=OC=$\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
故菱形的周长为4$\sqrt{15}$，
答：菱形的周长为4$\sqrt{15}$，面积为3．

点评 本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．