Question

6．数学活动：图形的变化
问题情境：如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，E是AC边上的一个动点（点E与A，C不重合），以CE为边在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．猜想线段BE，AD之间的关系．
（1）独立思考：请直接写出线段BE，AD之间的关系；
（2）合作交流：“希望”小组受上述问题的启发，将图（1）中的等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转至如图（2）的位置，BE交AC于点H，交AD于点O．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：“科技”小组将（2）中的等腰直角△ABC改为Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将等腰直角△ECD改为Rt△ECD，∠ECD=90°，CD=4，CE=3．试猜想BD²+AE²是否为定值，结合图（3）说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，得到的结论，直接判断出△BCE≌△ACD，再用互余判断出垂直；
（2）由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，得到的结论，直接判断出△BCE≌△ACD，再用互余判断出垂直；
（3）由条件用两边对应成比例，夹角相等判断出△BCE∽△ACD，再用勾股定理简单的计算即可．

解答 解：（1）∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=90°，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD，∠CEB=∠CDA，
∵∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠CDA=90°，
∴BE⊥AD，
（2）BE=CD，BE⊥AD，
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°
∴AC=BC，
∵△CDE是等腰直角三角形，∠ECD=90°，
∴CD=CE，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AHO=90°，
∴BE⊥AD；
即：BE=AD，BE⊥AD；

（3）是定值，
理由：∵∠ECD=90°，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+ACE=∠ECD+∠ACE=90°，
∴∠BCE=ACD，
∵AC=8，BC=6，CD=4，CE=3，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CE}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BE⊥AD，
∴∠BOD=∠AOB=90°，
∴BD²=OB²+OD²，AE²=OA²+OE²，AB²=OA²+OB²，DE²=OE²+OD²，
∴BD²+AE²=OB²+OD²+OA²+OE²=AB²+DE²，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB²=100，
在Rt△ECD中，∠ECD=90°，CD=4，CE=3，
∴DE²=25，
∴BD²+AE²=AB²+DE²=125．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是判断三角形全等和相似，难点是用勾股定理的 计算定值．