Question

11．如图（1），OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4，在OC边上取一点D，将将纸片沿AD翻转，使点O落在BC边上的点E处．
（1）求D、E两点的坐标；
（2）如图（2），若AE上有一动点P（不与A，E重合），自点A沿AE方向向点E做匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，过点P作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？
（3）请探究：在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出BE的长，进而可得出CE的长，求出E点坐标，再用勾股定理计算出OD即可；
（2）先判断出△APM∽△AED，表示出PM，再求出S_{四边形PMNE}=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$确定出极值；
（3）分两种情况（Ⅰ）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA，利用中位线求出M点坐标，（Ⅱ）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5，利用勾股定理和三角形相似求出即可．

解答 解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．
BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=3．
∴CE=2．
∴E点坐标为（2，4）．
在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE²，
又∵DE=OD．
∴（4-OD）²+2²=OD²．
解得：OD=$\frac{5}{2}$．
∴D点坐标为（0，$\frac{5}{2}$）．
（2）∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED．
∴$\frac{PM}{ED}=\frac{AP}{AE}$，
∵AP=t，ED=$\frac{5}{2}$，AE=5，
PM=$\frac{t}{5}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{t}{2}$，
∵PE=5-t．
∵四边形PMNE为矩形．
S_矩形PMNE=PM×PE=$\frac{t}{2}$×（5-t）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t；
∴S_{四边形PMNE}=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$．
∴当t=$\frac{5}{2}$时，S_矩形PMNE有最大值$\frac{25}{8}$．

（3）（Ⅰ）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图1）

在Rt△AED中，ME=MA，
∵PM⊥AE，
∴P为AE的中点，
∴t=AP=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{5}{2}$．
又∵PM∥ED，
∴M为AD的中点．
过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，
∴MF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{5}{4}$，OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，（0＜$\frac{5}{2}$＜5），△AME为等腰三角形．
此时M点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
（Ⅱ）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图1）
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{O{D}^{2}+A{O}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．
过点M作MF⊥OA，垂足为F．
∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED．
∴$\frac{AP}{AE}=\frac{AM}{AD}$
∴t=AP=$\frac{AM×AE}{AD}$=2$\sqrt{5}$，
∴PM=$\frac{1}{2}$t=$\sqrt{5}$．
∴MF=MP=$\sqrt{5}$，OF=OA-AF=OA-AP=5-2$\sqrt{5}$，
∴当t=2$\sqrt{5}$时，（0＜2$\sqrt{5}$＜5），此时M点坐标为（5-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知，t=$\frac{5}{2}$或t=2$\sqrt{5}$时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，
相应M点的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）或（5-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）

点评 此题是四边形综合题，主要考查了对折的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，中位线，解本题的关键是表示出线段．