Question

20．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠BCD=150°，对角线AC平分∠DAB，AC=6，则△DAB的面积为9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作高线DF，根据∠DAF=60°，设AF=x，则AD=2x，DF=$\sqrt{3}$x，证明△ADC∽△ACB，则$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，得
AD•AB=AC²=6²=36，整体代入面积公式可得结论．

解答 解：∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠ADC+∠ACD=150°，
∵∠DCB=150°，
∴∠ACB+∠ACD=150°，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴AD•AB=AC²=6²=36，
过D作DF⊥AB于F，
在Rt△ADF中，∠DAF=60°，
∴∠ADF=30°，
设AF=x，则AD=2x，DF=$\sqrt{3}$x，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DF=$\frac{1}{2}$AB$•\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB•2x$•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB•AD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×36=9$\sqrt{3}$；
故答案为：9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定、角平分线的定义、直角三角形30°角的性质，本题证明△ADC∽△ACB是关键，还运用了整体的思想，使问题得以解决．