Question

10．（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数．
（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边形ABCDE、…正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON；则图②中∠MON的度数是90°，图③中∠MON的度数是72°；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是$\frac{360°}{5}$．

Answer 1

分析 （1）连接OB、OC，可证明△OBM≌△OCN，可求得∠MON=∠BOC=120°；
（2）同理可求得图②、图③和正n边形的图中∠MON和正多边形的中心角相等，可求得答案．

解答 解：
（1）连接OB、OC；
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴OB=OC，∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°，
在△OBM和△OCN中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBM=∠OCN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$

∴△OBM≌△OCN（SAS），
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=120°；
（2）同理在图②中可求得∠MON=∠BOC=90°，
在图③中可求得∠MON=∠BOC=$\frac{360°}{5}$=72°，
∴在n边形图中，∠MON=∠BOC=$\frac{360°}{n}$，
故答案为：90°；72°；$\frac{360°}{5}$．

点评 本题为圆的综合应用，涉及正多边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．构造三角形全等是解题的关键，注意归纳推理，本题难度不大．