Question

19．令a、b、c三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线y=$\frac{1}{2}$x+t与函数y=max{-x²+4，x-2，-x-2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为1或$\frac{65}{16}$．

Answer 1

分析 只需画出函数y=max{-x²+4，x-2，-x-2}的图象，然后结合图象并运用分类讨论的思想，就可解决问题．

解答 解：在直角坐标系中画出函数y=max{-x²+4，x-2，-x-2}的图象，如图所示．

当直线y=$\frac{1}{2}$x+t经过（-2，0）或与抛物线y=-x²+4相切时，
直线y=$\frac{1}{2}$x+t与函数y=max{-x²+4，x-2，-x-2}的图象有且只有3个公共点．
①若直线y=$\frac{1}{2}$x+t经过（-2，0），
则有0=$\frac{1}{2}$×（-2）+t，
解得t=1；
②若直线y=$\frac{1}{2}$x+t与抛物线y=-x²+4相切，
则关于x的方程$\frac{1}{2}$x+t=-x²+4即x²+$\frac{1}{2}$x+t-4=0有两个相等的实数根，
则△=（$\frac{1}{2}$）²-4×1×（t-4）=0，
解得t=$\frac{65}{16}$．
综上所述：t=1或$\frac{65}{16}$．
故答案为1或$\frac{65}{16}$．

点评 本题属于新定义型，主要考查了直线与抛物线的交点、根的判别式、直线上点的坐标特征等知识，在解决问题的个过程中用到了数形结合和分类讨论的数学思想，应熟练掌握．