Question

7．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2，下列结论：①abc＜0；②a＜b＜-2a；③b²+8a＜4ac；④-1＜a＜0．其中正确结论的序号是①②．

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，判断①；根据对称轴小于1，判断②；根据顶点的纵坐标大于2判断③，根据图象经过（1，2）判断④．

解答 解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，a，b异号，∴b＞0，
∴①abc＜0，正确；
∵-$\frac{b}{2a}$＜1，
∴b＜-2a，
∴②a＜b＜-2a正确；
由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，
由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故③错误，
由题意知，a+b+c=2，（1）
a-b+c＜0，（2）
4a+2b+c＜0，（3）
把（1）代入（3）得到：4a+b+2-a＜0，
则a＜$\frac{-b-2}{3}$．
由（1）代入（2）得到：b＞1．
则a＜-1．故④错误．
综上所述，正确的结论是①②．
故答案为①②．

点评 本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．