Question

9．已知矩形ABCD的边AB=2，BC=4，P为矩形ABCD边上的一点，连接AP，若直线AP、BD交点为E，△PAB为等腰三角形，请你画出图形，直接写出AE的长．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，分两种情况：①当P在BC上时；②当P在CD上时，P为CD的中点；由矩形的性质和勾股定理以及相似三角形的性质即可得出结果．

解答 解：分两种情况：
①当P在BC上时，如图1所示
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP=90°，AD=BC=4，AD∥BC，CD=AB=2，
∴△ADE∽△PBE，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AD}{PB}$，
∵△ABP是等腰三角形，
∴PB=AB=2，
∴$\frac{AE}{PE}$=2，
∴$\frac{AE}{AP}$=$\frac{2}{3}$，
由勾股定理得：AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AE=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$；
②当P在CD上时，P为CD的中点，如图2所示：
则PD=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴AP=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DPE，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{AB}{PD}$=2，
∴AE=2PE，
∴AE=$\frac{2}{3}$AP=$\frac{2\sqrt{17}}{3}$；
综上所述，AE的长为$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$或$\frac{2\sqrt{17}}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、比例的性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．