Question

20．如图1，△ABC和△CDE为等边三角形，且边长分别为a，b，点D和E分别在边AC和BC上，点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF
（1）判断四边形FGHI是什么特殊四边形？并说明理由．
（2）当a=6，b=2时，求四边形FGHI的周长．
（3）如图2，当四边形FGHI是正方形时，连接AE，BD，相交于点N，点N，H恰好在FC上，若a=2+$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC和△CDE为等边三角形，可得四边形ABED是等腰梯形，再根据点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，即可得出FG=IH=FI=GH，进而得到四边形FGHI是菱形；
（2）过A作AM⊥BC于M，连接AE，再根据勾股定理，求得Rt△ACM中，AM=3$\sqrt{3}$，Rt△AEM中，AE=2$\sqrt{7}$，由（1）可得，四边形FGHI是菱形，且AE=2FG，即可得出四边形FGHI的周长=4FG=2AE；
（3）连接GI，根据四边形ABED是等腰梯形，G，I分别为BE，AD的中点，即可得到GI=$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{3}$+b），再根据四边形FGHI是正方形，可得FH=GI=$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{3}$+b），再根据△ABC和△CDE为等边三角形，F、H分别是AB、DE的中点，运用三线合一得出CF⊥AB，CH⊥DE，最后根据DE∥AB，得到$\frac{CH}{CF}$=$\frac{DE}{AB}$，列出关于b的方程式进行求解即可．

解答 解：（1）四边形FGHI是菱形．
如图1，连接AE，BD，
∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴DE∥AB，AD=BE，
∴四边形ABED是等腰梯形，
∴AE=BD，
又∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，
∴FG=IH=$\frac{1}{2}$AE，FI=GH=$\frac{1}{2}$BD，
∴FG=IH=FI=GH，
∴四边形FGHI是菱形；

（2）当a=6，b=2时，BC=AC=6，CE=2，
如图，过A作AM⊥BC于M，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴CM=$\frac{1}{2}$BC=3，ME=3-2=1，
又∵Rt△ACM中，AM=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴Rt△AEM中，AE=$\sqrt{A{M}^{2}+M{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
由（1）可得，四边形FGHI是菱形，且AE=2FG，
∴四边形FGHI的周长=4FG=2AE=4$\sqrt{7}$；

（3）如图2，连接GI，
∵四边形ABED是等腰梯形，G，I分别为BE，AD的中点，
∴GI=$\frac{1}{2}$（DE+AB）=$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{3}$+b），
∵四边形FGHI是正方形，
∴FH=GI=$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{3}$+b），
∵△ABC和△CDE为等边三角形，F、H分别是AB、DE的中点，
∴CF⊥AB，CH⊥DE，
∴Rt△CDH中，CH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
又∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CH}{CF}$=$\frac{DE}{AB}$，
即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}b}{\frac{\sqrt{3}}{2}b+\frac{1}{2}（2+\sqrt{3}+b）}$=$\frac{b}{2+\sqrt{3}}$，
解得b=1，
故b的值为1．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定，正方形的性质，中点四边形，梯形中位线定理，相似三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据三角形中位线定理，计算菱形的周长；解题时注意：相似三角形对应高的比等于相似比，据此可得比例式，解方程可得出b的值．